# 平方与平方根练习题

> 平方、完全平方数的平方根、化简根式. 6 年级. 属于 [Super Awesome Math](https://superawesomemath.com/zh.md)。

在方格纸上练习平方与平方根，共三种题型。把一个数平方，其中一部分题目反过来问（□² = 49），这其实就是还没出现根号的平方根；在根号下读同一张表，同样从两头问（√144 = □ 和 √□ = 12）；或者从不是完全平方数的被开方数中提出最大的平方因数（√18 = □√□）。根号带有覆盖被开方数的横线，让孩子看清根号到哪里为止。每个事实都从两头问，也正是一页题不重复的原因：12 × 12 以内只有十一个平方数。平方到 12 × 12 或 20 × 20，化简一项依赖质因数分解：只有看出 72 里的 36 而不是停在 4，√72 才会化成 6√2。

**技能:** 求平方, 平方根, 完全平方数, 化简根式, 最大平方因数.
**形式:** 可打印，每次加载随机生成.
**网址:** https://superawesomemath.com/zh/worksheets/squares-and-roots
**6 年级** · 最后更新: 2026-09-20

## 设置

- 练习：平方、平方根或化简
- 范围：平方至 12 × 12 或 20 × 20
- 列数：2、3 或 4，视题型而定
- 打印答案页

## 示例题目

- 7² = □
- □² = 49
- √144 = □
- √□ = 12
- √18 = □√□

## 计算步骤

求平方和开平方是同一件事的两个读法，而化简根号就是把藏在被开方数里的最大平方数提出来。

1. 求平方就是把这个数自己乘自己：7² 表示 7 × 7 = 49。那个小小的 2 是在数这个数出现几次，不是拿来乘的。
2. 求平方根就是把同一个问题倒着问。√49 问的是几乘自己等于 49，口诀表给出答案：7。
3. 要化简一个不是完全平方的根号，先找出能整除被开方数的最大平方数。72 = 36 × 2，所以 √72 = 6√2。
4. 如果一时想不到那个最大平方数，就改用分解质因数：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3。每一对相同的质数，就有一个可以走到根号外面。
5. 把答案平方回去检验：6√2 的平方是 36 × 2 = 72，正好回到原来的数。

### 容易出错的地方

- 停在第一眼看到的平方数上。72 = 4 × 18 得到 2√18，这还没做完，因为 18 里面还藏着一个 9。
- 把 7² 读成 7 × 2。指数数的是这个数出现几次，所以 7² 是 49，不是 14。
- 看不清根号管到哪里。被开方数上面那条横线说明什么在里面：√18 + 2 和 √(18 + 2) 是两个不同的数。

## 常见问题

**现在学平方根会不会太早？**

这要看课程安排。许多地方要再过一两年才引入根号，但求平方几乎在各地都属于这个年级的内容，而平方根一项不过是把同一张表倒着读。先从平方开始；等这张表做得又快又稳，再进入平方根；等质因数分解已经熟练，才进入化简。

**为什么有一部分题目问 □² = 49，而不是 7² = □？**

因为这正是平方根提出的问题，而孩子在见到根号之前很久就能回答它。把两个方向写在同一页上，可以避免求平方变成只会往一个方向走的习惯：等下一种题型里出现 √49 时，那只是一种要学的写法，而不是一个要学的新概念。这还有一个实际用处：12 × 12 以内只有十一个平方数，正是从两头提问，才让两打题目的一页不至于重复。

**像 √72 这样的根式怎么化简？**

要找出能整除它的最大平方数。72 是 36 × 2，所以 √72 等于 6√2。常见的错误是停在第一眼看到的平方数上：72 也等于 4 × 18，那样得到 2√18，而这还没做完，因为 18 里还藏着一个 9。先分解质因数就会变得很机械——72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3，每一对相同的质因数都往根号外送出一个。

**数字上面的横线是做什么的，重要吗？**

这条横线叫作括线，它说明根号管到哪里为止。没有它，√18 + 2 和 √(18 + 2) 看起来很像，而只见过一个光秃秃钩子的孩子，会把后面那个数也读成在根号里面。这张练习纸在数字上方和答题方格上方都画了它，让这个习惯从第一页就养成。

**应该从哪个范围开始？**

平方到 12 × 12 涵盖了值得背下来的那些结果，也和孩子已经掌握的乘法表相对应。到 20 × 20 会加上 13² 到 20² 的平方数，这些值得认得，但很少要求背诵，同时化简一项的被开方数也扩大到 400 以内。

## 使用方法

1. 打开 https://superawesomemath.com/zh/worksheets/squares-and-roots。
2. 调整设置；它们会保存在浏览器中。
3. 点击“重新生成”得到一组新的随机题目，然后点击“打印”。

## 先做这些

- [乘法](https://superawesomemath.com/zh/worksheets/multiplication.md): 乘法表与表格练习
- [因数与质数](https://superawesomemath.com/zh/worksheets/factors-and-primes.md): 分解质因数、最大公因数和最小公倍数、质数还是合数

## 再做这些

- [解方程](https://superawesomemath.com/zh/worksheets/solve-for-x.md): 一步方程、两步方程和两边都有 x 的方程

## 更多“数感”练习

- [比较大小](https://superawesomemath.com/zh/worksheets/comparison.md): 大于、小于、等于
- [四舍五入](https://superawesomemath.com/zh/worksheets/rounding.md): 四舍五入到十位、百位、千位

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