Super Awesome Math

Dzielniki i liczby pierwsze – karty pracy

Rozkład na czynniki pierwsze, NWD i NWW, liczby pierwsze i złożone · Klasy 4–6

Trzy rodzaje ćwiczeń z dzielnikami i wielokrotnościami na kratce jak w zeszycie. Zapisz liczbę jako iloczyn liczb pierwszych, od najmniejszej, z jednym polem na każdą cyfrę czynnika; znajdź największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność pary liczb; albo oznacz każdą liczbę jako pierwszą lub złożoną. Ćwiczenie z liczbami pierwszymi opiera się na liczbach, które zwodzą dzieci: nieparzystych liczbach złożonych takich jak 51, 57 i 91, które przechodzą sprawdzenie podzielności przez 2 i 5. Liczby sięgają do 100 lub 500, a znak mnożenia drukuje się jako × lub ·, zgodnie ze zwyczajem danego języka.

Umiejętności: rozkład na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik (NWD), najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), liczby pierwsze i złożone, podzielność. Forma: do druku, zadania losowane przy każdym otwarciu.

Karty są losowane, darmowe do druku i celowo nie mają klucza odpowiedzi – dlaczego Super Awesome Math działa w ten sposób.

Jak to zrobić

Rozkład na czynniki pierwsze rozbija liczbę na liczby pierwsze, których iloczyn ją daje, a gdy dwie liczby są tak zapisane, ich NWD i NWW można odczytać od razu.

  1. Dziel przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą liczba dzieli się bez reszty: najpierw 2, potem 3, potem 5 i tak dalej. 60 dzieli się przez 2: 60 = 2 · 30.
  2. Dziel wynik w ten sam sposób, aż to, co zostanie, będzie liczbą pierwszą. 30 = 2 · 15, 15 = 3 · 5, więc 60 = 2 · 2 · 3 · 5.
  3. Zapisz czynniki od najmniejszego. Każda liczba ma dokładnie jeden taki rozkład i właśnie to czyni go użytecznym.
  4. Żeby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, pomnóż liczby pierwsze występujące w obu rozkładach, każdą tyle razy, ile razy występuje w obu.
  5. Żeby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, pomnóż każdą liczbę pierwszą występującą w którymkolwiek rozkładzie, biorąc ją tyle razy, ile w rozkładzie, w którym występuje częściej.

Gdzie pojawiają się błędy

  • Zatrzymanie się na liczbie złożonej. 60 = 4 · 15 to prawdziwy rozkład, ale nie na czynniki pierwsze: zarówno 4, jak i 15 dają się rozłożyć dalej.
  • Traktowanie 1 jak liczby pierwszej. Nie jest nią, a dopisanie jej niczego nie zmienia, za to psuje rozkład.

Najczęściej zadawane pytania
Co to jest rozkład na czynniki pierwsze i dlaczego zapisuje się czynniki po kolei?
Każda liczba naturalna większa od 1 jest iloczynem liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób, nie licząc kolejności: 84 to 2 · 2 · 3 · 7. Zapisywanie czynników od najmniejszego daje każdemu zadaniu jedną odpowiedź do sprawdzenia i ułatwia liczenie powtarzających się czynników, z których buduje się NWD i NWW.
Jak znaleźć NWD i NWW dwóch liczb?
Rozłóż obie na czynniki. Największy wspólny dzielnik to iloczyn liczb pierwszych, które mają wspólne, tyle razy, ile mają je obie; najmniejsza wspólna wielokrotność to iloczyn wszystkich liczb pierwszych z obu rozkładów, tyle razy, ile w rozkładzie, który ma ich więcej. Dla 12 = 2 · 2 · 3 i 18 = 2 · 3 · 3 daje to NWD równy 6 i NWW równą 36.
Dlaczego na karcie ciągle pojawiają się liczby takie jak 51 i 91?
To liczby złożone, które wyglądają na pierwsze. Dziecko, które sprawdzi podzielność przez 2 i 5 i na tym poprzestanie, uzna 51 za liczbę pierwszą, a to 3 · 17, a 91 to 7 · 13. Mniej więcej połowa każdej strony z liczbami pierwszymi to liczby złożone, w większości nieparzyste i niekończące się na 5, więc jedyny sposób to dzielić dalej.
Od jakiego zakresu zacząć?
Zakres do 100 pasuje do klas 4 i 5, gdzie trzeba sprawdzać 2, 3, 5 i 7. Zakres do 500 wymaga też 11, 13, 17 i 19, a rozkład może tam kończyć się dwu- lub trzycyfrową liczbą pierwszą, więc pasuje do klasy 6 albo do dziecka, które już szybko rozkłada liczby na czynniki.

Ustawienia
  • Ćwiczenie: czynniki pierwsze, NWD i NWW albo liczba pierwsza czy złożona
  • Zakres: liczby do 100 lub do 500
  • Znak: × lub ·
  • Kolumny: 2, 3 lub 4, tyle, na ile pozwala ćwiczenie
  • Drukuj odpowiedzi

Przykładowe zadania
  • 84 = □ × □ × □ × □
  • 90 = □ × □ × □ × □
  • 51 → □
  • 91 → □

Więcej z działu: Liczby

Według klas