平方与平方根练习题
平方、完全平方数的平方根、化简根式 · 6 年级
在方格纸上练习平方与平方根，共三种题型。把一个数平方，其中一部分题目反过来问（□² = 49），这其实就是还没出现根号的平方根；在根号下读同一张表，同样从两头问（√144 = □ 和 √□ = 12）；或者从不是完全平方数的被开方数中提出最大的平方因数（√18 = □√□）。根号带有覆盖被开方数的横线，让孩子看清根号到哪里为止。每个事实都从两头问，也正是一页题不重复的原因：12 × 12 以内只有十一个平方数。平方到 12 × 12 或 20 × 20，化简一项依赖质因数分解：只有看出 72 里的 36 而不是停在 4，√72 才会化成 6√2。
技能: 求平方, 平方根, 完全平方数, 化简根式, 最大平方因数. 形式: 可打印，每次加载随机生成.
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计算步骤
求平方和开平方是同一件事的两个读法，而化简根号就是把藏在被开方数里的最大平方数提出来。
- 求平方就是把这个数自己乘自己：7² 表示 7 × 7 = 49。那个小小的 2 是在数这个数出现几次，不是拿来乘的。
- 求平方根就是把同一个问题倒着问。√49 问的是几乘自己等于 49，口诀表给出答案：7。
- 要化简一个不是完全平方的根号，先找出能整除被开方数的最大平方数。72 = 36 × 2，所以 √72 = 6√2。
- 如果一时想不到那个最大平方数，就改用分解质因数：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3。每一对相同的质数，就有一个可以走到根号外面。
- 把答案平方回去检验：6√2 的平方是 36 × 2 = 72，正好回到原来的数。
容易出错的地方
- 停在第一眼看到的平方数上。72 = 4 × 18 得到 2√18，这还没做完，因为 18 里面还藏着一个 9。
- 把 7² 读成 7 × 2。指数数的是这个数出现几次，所以 7² 是 49，不是 14。
- 看不清根号管到哪里。被开方数上面那条横线说明什么在里面：√18 + 2 和 √(18 + 2) 是两个不同的数。
常见问题
- 现在学平方根会不会太早？
- 这要看课程安排。许多地方要再过一两年才引入根号，但求平方几乎在各地都属于这个年级的内容，而平方根一项不过是把同一张表倒着读。先从平方开始；等这张表做得又快又稳，再进入平方根；等质因数分解已经熟练，才进入化简。
- 为什么有一部分题目问 □² = 49，而不是 7² = □？
- 因为这正是平方根提出的问题，而孩子在见到根号之前很久就能回答它。把两个方向写在同一页上，可以避免求平方变成只会往一个方向走的习惯：等下一种题型里出现 √49 时，那只是一种要学的写法，而不是一个要学的新概念。这还有一个实际用处：12 × 12 以内只有十一个平方数，正是从两头提问，才让两打题目的一页不至于重复。
- 像 √72 这样的根式怎么化简？
- 要找出能整除它的最大平方数。72 是 36 × 2，所以 √72 等于 6√2。常见的错误是停在第一眼看到的平方数上：72 也等于 4 × 18，那样得到 2√18，而这还没做完，因为 18 里还藏着一个 9。先分解质因数就会变得很机械——72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3，每一对相同的质因数都往根号外送出一个。
- 数字上面的横线是做什么的，重要吗？
- 这条横线叫作括线，它说明根号管到哪里为止。没有它，√18 + 2 和 √(18 + 2) 看起来很像，而只见过一个光秃秃钩子的孩子，会把后面那个数也读成在根号里面。这张练习纸在数字上方和答题方格上方都画了它，让这个习惯从第一页就养成。
- 应该从哪个范围开始？
- 平方到 12 × 12 涵盖了值得背下来的那些结果，也和孩子已经掌握的乘法表相对应。到 20 × 20 会加上 13² 到 20² 的平方数，这些值得认得，但很少要求背诵，同时化简一项的被开方数也扩大到 400 以内。