Was ist eine Primfaktorzerlegung, und warum ordnet man die Faktoren?

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich bis auf die Reihenfolge nur auf eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Wer die Faktoren der Größe nach ordnet, hat genau eine Lösung zum Vergleichen und kann wiederholte Faktoren leicht zählen, und auf diesen bauen ggT und kgV auf.

Wie findet man ggT und kgV zweier Zahlen?

Man zerlegt beide. Der ggT multipliziert die gemeinsamen Primfaktoren, so oft sie in beiden vorkommen; das kgV multipliziert alle Primfaktoren, die in einer der Zahlen vorkommen, so oft wie in der Zahl, die sie am häufigsten hat. Für 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3 ergibt das einen ggT von 6 und ein kgV von 36.

Warum kommen so oft Zahlen wie 51 und 91 vor?

Das sind zusammengesetzte Zahlen, die wie Primzahlen aussehen. Ein Kind, das nur 2 und 5 prüft, hält 51 für eine Primzahl, dabei ist 51 = 3 · 17 und 91 = 7 · 13. Etwa die Hälfte jedes Blatts ist zusammengesetzt, und die meisten davon sind ungerade und enden nicht auf 5, also hilft nur weiterteilen.

Mit welchem Zahlenraum sollte ich anfangen?

Bis 100 passt zu Klasse 5, wo es genügt, 2, 3, 5 und 7 zu probieren. Bis 500 verlangt auch 11, 13, 17 und 19, und die Zerlegung kann mit einem großen Primfaktor enden, das passt zu Klasse 6 oder zu Kindern, die schon sicher zerlegen.

Arbeitsblätter Teiler und Primzahlen

Primfaktorzerlegung, ggT und kgV, Primzahl oder nicht · 4.–6. Klasse

Drei Übungen zu Teilern und Vielfachen auf einem Karogitter. Eine Zahl in Primfaktoren zerlegen, der kleinste zuerst, mit einem Kästchen für jede Ziffer jedes Faktors; den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen finden; oder bei jeder Zahl entscheiden, ob sie eine Primzahl ist. Die Primzahl-Übung setzt auf die Zahlen, die Kinder täuschen: ungerade zusammengesetzte Zahlen wie 51, 57 oder 91, die die Teilbarkeitsregeln für 2 und 5 bestehen. Die Zahlen reichen bis 100 oder 500, und das Malzeichen wird je nach Sprache als × oder · gedruckt.

Fähigkeiten: Primfaktorzerlegung, größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, Teilbarkeitsregeln. Format: zum Ausdrucken, bei jedem Laden neu gemischt.

Die Blätter werden zufällig erzeugt, sind kostenlos zu drucken und bewusst ohne Lösungsblatt – warum Super Awesome Math so arbeitet.

So geht es

Die Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl als Produkt von Primzahlen, und sobald zwei Zahlen so dastehen, lassen sich ihr ggT und ihr kgV direkt ablesen.

Teile durch die kleinste Primzahl, die glatt aufgeht, beginnend bei 2, dann 3, dann 5 und so weiter. Bei 60 geht die 2: 60 = 2 × 30.
Teile das Ergebnis auf dieselbe Weise weiter, bis das Übrige selbst eine Primzahl ist. 30 = 2 × 15, 15 = 3 × 5, also 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
Schreibe die Faktoren von klein nach groß. Zu jeder Zahl gehört genau eine solche Liste, und das macht sie brauchbar.
Für den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen multiplizierst du die Primzahlen, die in beiden Listen stehen, jede so oft, wie sie in beiden vorkommt.
Für das kleinste gemeinsame Vielfache multiplizierst du jede Primzahl, die in einer der Listen steht, jeweils so oft, wie sie höchstens vorkommt.

Wo es schiefgeht

Bei einer zusammengesetzten Zahl stehen bleiben. 60 = 4 × 15 ist eine richtige Zerlegung, aber keine in Primfaktoren: 4 und 15 lassen sich weiter zerlegen.
Die 1 als Primzahl mitzählen. Sie ist keine, und sie ändert nichts, macht die Liste aber falsch.

Häufige Fragen

Was ist eine Primfaktorzerlegung, und warum ordnet man die Faktoren?: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich bis auf die Reihenfolge nur auf eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben: 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Wer die Faktoren der Größe nach ordnet, hat genau eine Lösung zum Vergleichen und kann wiederholte Faktoren leicht zählen, und auf diesen bauen ggT und kgV auf.
Wie findet man ggT und kgV zweier Zahlen?: Man zerlegt beide. Der ggT multipliziert die gemeinsamen Primfaktoren, so oft sie in beiden vorkommen; das kgV multipliziert alle Primfaktoren, die in einer der Zahlen vorkommen, so oft wie in der Zahl, die sie am häufigsten hat. Für 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3 ergibt das einen ggT von 6 und ein kgV von 36.
Warum kommen so oft Zahlen wie 51 und 91 vor?: Das sind zusammengesetzte Zahlen, die wie Primzahlen aussehen. Ein Kind, das nur 2 und 5 prüft, hält 51 für eine Primzahl, dabei ist 51 = 3 · 17 und 91 = 7 · 13. Etwa die Hälfte jedes Blatts ist zusammengesetzt, und die meisten davon sind ungerade und enden nicht auf 5, also hilft nur weiterteilen.
Mit welchem Zahlenraum sollte ich anfangen?: Bis 100 passt zu Klasse 5, wo es genügt, 2, 3, 5 und 7 zu probieren. Bis 500 verlangt auch 11, 13, 17 und 19, und die Zerlegung kann mit einem großen Primfaktor enden, das passt zu Klasse 6 oder zu Kindern, die schon sicher zerlegen.

Einstellungen

Übung: Primfaktoren, ggT und kgV, oder Primzahl oder nicht
Zahlenraum: bis 100 oder bis 500
Zeichen: × oder ·
Spalten: 2, 3 oder 4, soweit die Übung es zulässt
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Beispielaufgaben

84 = □ × □ × □ × □
90 = □ × □ × □ × □
51 → □
91 → □

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